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<!DOCTYPE html>

<title>Diskrete Fourier-Transformation</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Diskrete Fourier-Transformation</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Die Diskrete Fourier-Transformation (DFT) ist eine Transformation aus dem Bereich der <a href="Fourier-Analysis" title="Fourier-Analysis">Fourier-Analysis</a>.<a href="#cite_note-1">[1]</a><a href="#cite_note-2">[2]</a>

Sie bildet ein <a href="Zeitdiskretes_Signal" title="Zeitdiskretes Signal">zeitdiskretes endliches Signal</a>, das <a href="Periodische_Fortsetzung" title="Periodische Fortsetzung">periodisch fortgesetzt</a> wird, auf ein diskretes, periodisches <a href="Frequenzraum" class="mw-redirect" title="Frequenzraum">Frequenzspektrum</a> ab, das auch als <a href="Bildbereich" class="mw-redirect" title="Bildbereich">Bildbereich</a> bezeichnet wird. Die DFT besitzt in der <a href="Digitale_Signalverarbeitung" title="Digitale Signalverarbeitung">digitalen Signalverarbeitung</a> zur Signalanalyse große Bedeutung. Hier werden optimierte Varianten in Form der <a href="Schnelle_Fourier-Transformation" title="Schnelle Fourier-Transformation">schnellen Fourier-Transformation</a> (<a href="Englische_Sprache" title="Englische Sprache">englisch</a> fast Fourier transform, FFT) und ihrer Inversen angewandt.

Die DFT wird in der Signalverarbeitung für viele Aufgaben verwendet, so z. B.

<ul><li>zur Bestimmung der in einem <a href="Abtastung_(Signalverarbeitung)" title="Abtastung (Signalverarbeitung)">abgetasteten</a> Signal hauptsächlich vorkommenden <a href="Frequenz" title="Frequenz">Frequenzen</a>,</li>

<li>zur Bestimmung der <a href="Amplitude" title="Amplitude">Amplituden</a> und der zugehörigen <a href="Phasenverschiebung" title="Phasenverschiebung">Phasenlage</a> zu diesen Frequenzen,</li>

<li>zur Implementierung <a href="Digitales_Filter" class="mw-redirect" title="Digitales Filter">digitaler Filter</a> mit großen Filterlängen.</li></ul>

Mit der inversen DFT, kurz iDFT kann aus den Frequenzanteilen das Signal im Zeitbereich rekonstruiert werden. Durch Kopplung von DFT und iDFT kann ein Signal im Frequenzbereich manipuliert werden, wie es beim <a href="Equalizer" title="Equalizer">Equalizer</a> angewandt wird. Die Diskrete Fourier-Transformation ist von der verwandten <a href="Fouriertransformation_f%C3%BCr_zeitdiskrete_Signale" title="Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale">Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale</a> (englisch discrete-time Fourier transform, DTFT) zu unterscheiden, die aus zeitdiskreten Signalen ein kontinuierliches Frequenzspektrum bildet.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Diskrete_Fourier-Transformation_(DFT)">Diskrete Fourier-Transformation (DFT)</h3></div>

Die diskrete Fourier-Transformation verarbeitet eine Folge von Zahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=(a_{0},\dotsc ,a_{N-1})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=(a_{0},\dotsc ,a_{N-1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b445f21a84b5c00ab3620f8215729c448ce2349f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.622ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a=(a_{0},\dotsc ,a_{N-1})}" loading="lazy">, die zum Beispiel als <a href="Zeitdiskretes_Signal" title="Zeitdiskretes Signal">zeitdiskrete Messwerte</a> entstanden sind. Dabei wird angenommen, dass diese Messwerte einer Periode eines periodischen Signals entsprechen. Die DFT gilt auch für den Fall, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> eine Folge von komplexen Zahlen ist, also: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=(a_{0},\dotsc ,a_{N-1})\in \mathbb {C} ^{N}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=(a_{0},\dotsc ,a_{N-1})\in \mathbb {C} ^{N}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3ebd485b512c7747688dcc1c1a20f1412ddb0750.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.832ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle a=(a_{0},\dotsc ,a_{N-1})\in \mathbb {C} ^{N}}" loading="lazy">

Das Ergebnis der Transformation ist eine Zerlegung der Folge in harmonische (sinusförmige) Anteile, sowie einen „Gleichanteil“ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {a}}_{0}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {a}}_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c9670d677859a2159ad3d68d44fd35b9c4a7d864.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.284ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {a}}_{0}}" loading="lazy">, der dem Mittelwert der Eingangsfolge entspricht. Das Ergebnis nennt man „diskrete Fourier-Transformierte“ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {a}}=({\hat {a}}_{0},\dotsc ,{\hat {a}}_{N-1})\in \mathbb {C} ^{N}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {a}}=({\hat {a}}_{0},\dotsc ,{\hat {a}}_{N-1})\in \mathbb {C} ^{N}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f9b42e1927905038a854e808c4d8f4c80381aec7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.832ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\hat {a}}=({\hat {a}}_{0},\dotsc ,{\hat {a}}_{N-1})\in \mathbb {C} ^{N}}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy">. Die Koeffizienten von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {a}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {a}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/233a5bda7c263f804b049be11c03d12e3d65103a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\hat {a}}}" loading="lazy"> sind die Amplituden der Zerlegungs-Anteile. Man nennt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {a}}_{k}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {a}}_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1d7f8744b8624dd111dc5922b21c1016771922d9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.319ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {a}}_{k}}" loading="lazy"> auch Fourierkoeffizienten oder Fourierkomponenten.

Üblicherweise wird bei der Bestimmung der Frequenzanteile/Phasenlage die kompakte mathematische Schreibweise der <a href="Polarform" class="mw-redirect" title="Polarform">Polarform</a> verwendet (<a href="Eulersche_Formel" title="Eulersche Formel">Eulersche Formel</a>):

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,\phi }=\cos \left(\phi \right)+\mathrm {i} \,\sin \left(\phi \right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7801ec0dea4537c9465f6d15f201b6148585d91b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.805ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,\phi }=\cos \left(\phi \right)+\mathrm {i} \,\sin \left(\phi \right)}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Fourierkoeffizienten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {a}}_{k}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {a}}_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1d7f8744b8624dd111dc5922b21c1016771922d9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.319ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {a}}_{k}}" loading="lazy"> werden damit aus der Eingangsfolge berechnet durch:

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {a}}_{k}=\sum _{j=0}^{N-1}\mathrm {e} ^{-2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {jk}{N}}}\cdot a_{j}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/096fcbd6482197ab00b0335ac512cf52db3a59f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:20.486ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle {\hat {a}}_{k}=\sum _{j=0}^{N-1}\mathrm {e} ^{-2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {jk}{N}}}\cdot a_{j}}" loading="lazy">   für   <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=0,\dotsc ,N-1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=0,\dotsc ,N-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/224001f283e7bf7678fb5ab5633fca0231d64b93.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.717ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k=0,\dotsc ,N-1}" loading="lazy">

</th></tr></tbody></table></dd></dl>

Die Gleichung kann auch als <a href="Matrix-Vektor-Produkt" title="Matrix-Vektor-Produkt">Matrix-Vektor-Produkt</a> geschrieben werden:

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {a}}=W\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c2ceae3235d5fcecd2e0fc333b0d982a63a61af0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.672ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\hat {a}}=W\cdot a}" loading="lazy">   mit   <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W[k,j]=\mathrm {e} ^{-2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {jk}{N}}}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W[k,j]=\mathrm {e} ^{-2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {jk}{N}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e1b1d4c63c4e8f78ead2b3193112cbb94d8904e1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.334ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle W[k,j]=\mathrm {e} ^{-2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {jk}{N}}}}" loading="lazy">

</th></tr></tbody></table></dd></dl>

Die symmetrische <a href="Transformationsmatrix" class="mw-redirect" title="Transformationsmatrix">Transformationsmatrix</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W}" loading="lazy"> mit der Dimension <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N\times N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N\times N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/99a86c5231bb3cbb863d9d428ebe9ac8db8d4ffb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.968ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N\times N}" loading="lazy"> wird „Fourier-Matrix“ genannt.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Inverse_Diskrete_Fourier-Transformation_(iDFT)">Inverse Diskrete Fourier-Transformation (iDFT)</h3></div>

Die Summe der sinusförmigen Zerlegungsanteile ergibt wiederum die ursprüngliche Eingangsfolge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy">.

Dafür wird das Transformationsergebnis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {a}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {a}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/233a5bda7c263f804b049be11c03d12e3d65103a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\hat {a}}}" loading="lazy"> als Koeffizienten eines <a href="Polynom" title="Polynom">Polynoms</a> verwendet, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {a}}_{k}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {a}}_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1d7f8744b8624dd111dc5922b21c1016771922d9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.319ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {a}}_{k}}" loading="lazy"> die Amplituden von den zugehörigen harmonischen Schwingungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a51cdfac24f8b95ed711f11ea9502da4087b6a24.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.17ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle z_{k}}" loading="lazy"> darstellen.

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A(z_{k})={\tfrac {1}{N}}\left({\hat {a}}_{0}z_{k}^{0}+{\hat {a}}_{1}z_{k}^{1}+\dots +{\hat {a}}_{N-1}z_{k}^{N-1}\right)\;.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7fafe395384f1b95979c395c423c52ea2077a8bf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:45.369ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle A(z_{k})={\tfrac {1}{N}}\left({\hat {a}}_{0}z_{k}^{0}+{\hat {a}}_{1}z_{k}^{1}+\dots +{\hat {a}}_{N-1}z_{k}^{N-1}\right)\;.}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Argumente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z_{0},z_{1},\dotsc ,z_{N-1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{0},z_{1},\dotsc ,z_{N-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0a62adaedef2c8c0b327e9a5708b264af642294.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.356ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle z_{0},z_{1},\dotsc ,z_{N-1}}" loading="lazy"> sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"> gleich verteilte Punkte auf dem <a href="Einheitskreis" title="Einheitskreis">Einheitskreis</a> der <a href="Komplexe_Zahl" title="Komplexe Zahl">komplexen Zahlenebene</a>, d. h. die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy">–ten <a href="Einheitswurzel" title="Einheitswurzel">Einheitswurzeln</a>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{k}=\mathrm {e} ^{{\frac {2\pi \mathrm {i} }{N}}k}=\cos \left({\tfrac {2\pi }{N}}k\right)+\mathrm {i} \,\sin \left({\tfrac {2\pi }{N}}k\right)\;.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c74aa5270401387f57ad993b12e0289959573e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:37.821ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle z_{k}=\mathrm {e} ^{{\frac {2\pi \mathrm {i} }{N}}k}=\cos \left({\tfrac {2\pi }{N}}k\right)+\mathrm {i} \,\sin \left({\tfrac {2\pi }{N}}k\right)\;.}" loading="lazy"></dd></dl>

Aus dieser Erklärung wird nebenbei auch der Zusammenhang zwischen der diskreten Fourier-Transformation und der <a href="Z-Transformation" title="Z-Transformation">z-Transformation</a> ersichtlich. Der Unterschied besteht im Wesentlichen darin, dass die z-Transformation nicht auf den Einheitskreis beschränkt ist und dadurch auch zeitlich dynamische Vorgänge abbilden kann.

Die Koeffizienten der ursprünglichen Folge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> lassen sich mit der iDFT aus den Fourierkoeffizienten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {a}}_{j}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {a}}_{j}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c46cc5e538a43561a07260555a29601effc349a6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.14ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {a}}_{j}}" loading="lazy"> bestimmen:

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{k}={\frac {1}{N}}\sum _{j=0}^{N-1}\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {jk}{N}}}\cdot {\hat {a}}_{j}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/255a12910f50989cdeb247a80db78dc7505c16db.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:22.494ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle a_{k}={\frac {1}{N}}\sum _{j=0}^{N-1}\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {jk}{N}}}\cdot {\hat {a}}_{j}}" loading="lazy">   für   <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=0,\dotsc ,N-1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=0,\dotsc ,N-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/224001f283e7bf7678fb5ab5633fca0231d64b93.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.717ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k=0,\dotsc ,N-1}" loading="lazy">

</th></tr></tbody></table></dd></dl>

In der Schreibweise als <a href="Matrix-Vektor-Produkt" title="Matrix-Vektor-Produkt">Matrix-Vektor-Produkt</a>:

<msup>

</mrow>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=W^{-1}\cdot {\hat {a}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d53e4edd07bb56bb20cffb1809bef08ed221e74.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:12.078ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a=W^{-1}\cdot {\hat {a}}}" loading="lazy">   mit   <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W^{-1}[k,j]={\frac {1}{N}}\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {jk}{N}}}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W^{-1}[k,j]={\frac {1}{N}}\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {jk}{N}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a4ddd72b19d0b684effaf1f4a7e94417a863d989.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:21.36ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle W^{-1}[k,j]={\frac {1}{N}}\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {jk}{N}}}}" loading="lazy">

</th></tr></tbody></table></dd></dl>

wobei hier <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {a}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {a}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/233a5bda7c263f804b049be11c03d12e3d65103a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\hat {a}}}" loading="lazy"> mit der <a href="Inverse_Matrix" title="Inverse Matrix">inversen Matrix</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W}" loading="lazy"> multipliziert wird.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bestimmung_einer_zeitkontinuierlichen_periodischen_Funktion_basierend_auf_der_Eingangsfolge">Bestimmung einer zeitkontinuierlichen periodischen Funktion basierend auf der Eingangsfolge</h3></div>

Aus der inversen diskreten Fourier-Transformation lässt sich auch eine zeitkontinuierliche Funktion bestimmen, die durch die zeitdiskreten Messwerte (die Eingangsfolge) führt:

Dazu wird das Polynom <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A(z)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A(z)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a73d875e7b3ae0e0ceb6ce39dc27049a958b3fab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.641ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A(z)}" loading="lazy"> mit einer gleichmäßig den Einheitskreis umlaufenden Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} 2\pi {\frac {t-t_{0}}{T}}}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} 2\pi {\frac {t-t_{0}}{T}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7828bdd4c1c1dda48edfd87af743489fbf3954b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.96ex; height:4.509ex;" alt="{\displaystyle z(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} 2\pi {\frac {t-t_{0}}{T}}}}" loading="lazy"> verknüpft. So ergibt sich eine zeitkontinuierliche <a href="Periodische_Funktion" title="Periodische Funktion">periodische Funktion</a>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(t)=A(z(t))={\tfrac {1}{N}}\left({\hat {a}}_{0}+{\hat {a}}_{1}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} 2\pi {\frac {t-t_{0}}{T}}}+{\hat {a}}_{2}\mathrm {e} ^{2\cdot \mathrm {i} 2\pi {\frac {t-t_{0}}{T}}}+\dotsb +{\hat {a}}_{N-1}\mathrm {e} ^{(N-1)\cdot \mathrm {i} 2\pi {\frac {t-t_{0}}{T}}}\right),}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/41228ede4dc3de6cf334785bb9e2320071034bb6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:78.46ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle f(t)=A(z(t))={\tfrac {1}{N}}\left({\hat {a}}_{0}+{\hat {a}}_{1}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} 2\pi {\frac {t-t_{0}}{T}}}+{\hat {a}}_{2}\mathrm {e} ^{2\cdot \mathrm {i} 2\pi {\frac {t-t_{0}}{T}}}+\dotsb +{\hat {a}}_{N-1}\mathrm {e} ^{(N-1)\cdot \mathrm {i} 2\pi {\frac {t-t_{0}}{T}}}\right),}" loading="lazy"></dd></dl>

die zu den Zeiten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{k}=t_{0}+{\tfrac {k}{N}}T}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{k}=t_{0}+{\tfrac {k}{N}}T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4553ecca95157863129a3432059176bdb17c72ea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:13.693ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle t_{k}=t_{0}+{\tfrac {k}{N}}T}" loading="lazy"> gerade die Funktionswerte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{k}=A(z_{k})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{k}=A(z_{k})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a8ac51c9f5efcbaf5dee86a7bb1bbce39915641b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.139ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a_{k}=A(z_{k})}" loading="lazy"> annimmt.

Die Potenzen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/14f9d8936c28d327f65c390886501cde7ff012a4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.737ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle z(t)}" loading="lazy"> haben die Gestalt

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z(t)^{k}=\mathrm {e} ^{k\cdot \mathrm {i} 2\pi {\frac {t-t_{0}}{T}}}=\cos(2k\pi {\tfrac {t-t_{0}}{T}})+\mathrm {i} \,\sin(2k\pi {\tfrac {t-t_{0}}{T}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d65936afdc9b8b0b835cd100d6513d050422015.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:48.987ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle z(t)^{k}=\mathrm {e} ^{k\cdot \mathrm {i} 2\pi {\frac {t-t_{0}}{T}}}=\cos(2k\pi {\tfrac {t-t_{0}}{T}})+\mathrm {i} \,\sin(2k\pi {\tfrac {t-t_{0}}{T}})}" loading="lazy"></dd></dl>

und daher die Periode <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T/k}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T/k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7a8ce48f3a8da1a47594c0d30087477870d24435.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.01ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T/k}" loading="lazy"> und die Frequenz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k/T}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k/T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/520cc8e27282effc9af62d11b66ac2d99df5c574.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.01ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle k/T}" loading="lazy"> bzw. die Kreisfrequenz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2k\pi /T}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2k\pi /T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/69843b859b2a0cb1bfc5ab444e9c547f8717760a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.504ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 2k\pi /T}" loading="lazy">. Somit ist die Folge der Messwerte durch die Superposition eines konstanten Pegels bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6307c8a99dad7d0bcb712352ae0a748bd99a038b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.472ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k=0}" loading="lazy">, einer Grundschwingung bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6c035ffa69b5bca8bf2d16c3da3aaad79a8bcbfa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.472ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k=1}" loading="lazy"> und Oberschwingungen bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k>1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k>1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5cda43bd4034dc2d04cd562005d0af81d3d2dbc6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.472ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k>1}" loading="lazy"> dargestellt und interpoliert worden.

Diese oben angegebene <a href="Interpolation_(Mathematik)" title="Interpolation (Mathematik)">Interpolations</a>funktion ist nicht die einzige, die sich auf diese Art konstruieren lässt. Jede der Funktionen

<mtr>

<mtd>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<mrow>

<mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mrow>

<mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{matrix}f(t)={\frac {1}{N}}&\left({\hat {a}}_{0}+{\hat {a}}_{1}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} 2\pi {\frac {t-t_{0}}{T}}}+{\hat {a}}_{2}\mathrm {e} ^{2\cdot \mathrm {i} 2\pi {\frac {t-t_{0}}{T}}}+\dots +{\hat {a}}_{M-1}\mathrm {e} ^{(M-1)\cdot \mathrm {i} 2\pi {\frac {t-t_{0}}{T}}}\right.\\&\left.+{\hat {a}}_{M}\mathrm {e} ^{(M-N)\cdot \mathrm {i} 2\pi {\frac {t-t_{0}}{T}}}+\dots +{\hat {a}}_{N-1}\mathrm {e} ^{(N-1-N)\cdot \mathrm {i} 2\pi {\frac {t-t_{0}}{T}}}\right)\end{matrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/984fa4f76605e2c9f4935c84fbd27822892cfdc7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.671ex; width:68.55ex; height:12.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{matrix}f(t)={\frac {1}{N}}&\left({\hat {a}}_{0}+{\hat {a}}_{1}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} 2\pi {\frac {t-t_{0}}{T}}}+{\hat {a}}_{2}\mathrm {e} ^{2\cdot \mathrm {i} 2\pi {\frac {t-t_{0}}{T}}}+\dots +{\hat {a}}_{M-1}\mathrm {e} ^{(M-1)\cdot \mathrm {i} 2\pi {\frac {t-t_{0}}{T}}}\right.\\&\left.+{\hat {a}}_{M}\mathrm {e} ^{(M-N)\cdot \mathrm {i} 2\pi {\frac {t-t_{0}}{T}}}+\dots +{\hat {a}}_{N-1}\mathrm {e} ^{(N-1-N)\cdot \mathrm {i} 2\pi {\frac {t-t_{0}}{T}}}\right)\end{matrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

hat diese Interpolationseigenschaft.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Sonderfall:_DFT_für_einen_reellen_Vektor">Sonderfall: DFT für einen reellen Vektor</h3></div>

Wie bei der Fourier-Transformation gelten auch für die DFT gewisse Symmetriegesetze. So wird ein reelles Signal im Zeitraum zu einem <a href="Hermitesch" class="mw-redirect" title="Hermitesch">hermiteschen</a> Signal (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g(-{\vec {x}})={\overline {g({\vec {x}})}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(-{\vec {x}})={\overline {g({\vec {x}})}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72275dd6bf0f3a869fdbcd67eb4b2063e0760651.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.532ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle g(-{\vec {x}})={\overline {g({\vec {x}})}}}" loading="lazy">) im Frequenzraum:

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {a}}_{N-k}={\overline {{\hat {a}}_{k}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c0695ffa7b41b704a634bf04069597c2c9d978c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.588ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {a}}_{N-k}={\overline {{\hat {a}}_{k}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Dies bedeutet, dass im Frequenzraum nur <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N/2}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N/2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/45c51c21b2bc7ea5e2fcae8f0f4aa49f6f19ebaf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.389ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N/2}" loading="lazy"> unabhängige komplexe Koeffizienten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {a}}_{k}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {a}}_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1d7f8744b8624dd111dc5922b21c1016771922d9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.319ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {a}}_{k}}" loading="lazy"> vorliegen. Diese Tatsache kann bei der Implementierung der DFT ausgenutzt werden, wenn bekannt ist, dass das Eingangssignal rein reell ist. Für die Darstellung des Ergebnisses sind dann keine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"> (wie bei der vollen DFT), sondern nur <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N/2}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N/2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/45c51c21b2bc7ea5e2fcae8f0f4aa49f6f19ebaf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.389ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N/2}" loading="lazy"> komplexe Zahlen nötig. Die anderen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N/2}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N/2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/45c51c21b2bc7ea5e2fcae8f0f4aa49f6f19ebaf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.389ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N/2}" loading="lazy"> komplexen Zahlen können durch elementare Rechnung rekonstruiert werden (siehe Formel oben). Die hermitesche Symmetrie bezieht sich auf das mittlere Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=N/2}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=N/2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/23c17e654c8d50e5477922a2233cf4aa844e0adc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.698ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle k=N/2}" loading="lazy"> des Signals <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {a}}_{k}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {a}}_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1d7f8744b8624dd111dc5922b21c1016771922d9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.319ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {a}}_{k}}" loading="lazy">.

<dl><dd><dl><dd>Beweis: Wegen der <a href="Eulersche_Identit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Eulersche Identität">Eulerschen Identität</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} }=1}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} }=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48feb11f36873d844718ea619ad42ae08d614d0b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.747ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} }=1}" loading="lazy"> und wegen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \phi }}}=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \phi }}">

<mover>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \phi }}}=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \phi }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/58e208750bfd38de386dbc7858d00bc884bb1028.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.895ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\overline {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \phi }}}=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \phi }}" loading="lazy"> gilt im <a href="Reelle_Zahlen" class="mw-redirect" title="Reelle Zahlen">reellen</a> Fall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{N}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{N}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9de2bedfe7363c2a76f2ba2b5b615d468d9436ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.44ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{N}}" loading="lazy">:

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mover>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<mover>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {a}}_{N-k}=\sum _{j=0}^{N-1}\mathrm {e} ^{-2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {Nj}{N}}}\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {jk}{N}}}\cdot a_{j}=\sum _{j=0}^{N-1}{\overline {\mathrm {e} ^{-2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {jk}{N}}}\cdot a_{j}}}={\overline {{\hat {a}}_{k}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b259751d1f66d4021e909cb208378cc28cf93434.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:53.552ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle {\hat {a}}_{N-k}=\sum _{j=0}^{N-1}\mathrm {e} ^{-2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {Nj}{N}}}\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {jk}{N}}}\cdot a_{j}=\sum _{j=0}^{N-1}{\overline {\mathrm {e} ^{-2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {jk}{N}}}\cdot a_{j}}}={\overline {{\hat {a}}_{k}}}}" loading="lazy"></dd></dl></dd></dl></dd></dl>

Umgekehrt gilt entsprechend: Erfüllt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {a}}\in \mathbb {C} ^{N}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {a}}\in \mathbb {C} ^{N}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d00c377bf43076ef26390df2df79c64dc1710ec0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.44ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\hat {a}}\in \mathbb {C} ^{N}}" loading="lazy"> die Bedingung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {a}}_{N-k}={\overline {{\hat {a}}_{k}}}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {a}}_{N-k}={\overline {{\hat {a}}_{k}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c0695ffa7b41b704a634bf04069597c2c9d978c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.588ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {a}}_{N-k}={\overline {{\hat {a}}_{k}}}}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=1,\dotsc ,N-1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=1,\dotsc ,N-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/90b6df2f6fd51424507f0a63e4aecd423062f687.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.717ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k=1,\dotsc ,N-1}" loading="lazy"> sowie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {a}}_{0}\in \mathbb {R} }">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {a}}_{0}\in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3811252d48b8c50047ac308c471f3f5b29f9d00a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.803ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {a}}_{0}\in \mathbb {R} }" loading="lazy">, so ist die inverse DFT ein reeller Vektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{N}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{N}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9de2bedfe7363c2a76f2ba2b5b615d468d9436ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.44ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{N}}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Verallgemeinerung:_Mathematische_Definition_der_DFT">Verallgemeinerung: Mathematische Definition der DFT</h3></div>

In der <a href="Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a> wird die diskrete Fouriertransformation in einem sehr allgemeinen Kontext betrachtet. Sie findet unter anderem in der <a href="Computeralgebra" title="Computeralgebra">Computeralgebra</a> bei einer Vielzahl von effizienten <a href="Algorithmus" title="Algorithmus">Algorithmen</a> zur exakten <a href="Arithmetik" title="Arithmetik">Arithmetik</a> Anwendung, so zum Beispiel bei der schnellen <a href="Multiplikation" title="Multiplikation">Multiplikation</a> ganzer Zahlen mit dem <a href="Sch%C3%B6nhage-Strassen-Algorithmus" title="Schönhage-Strassen-Algorithmus">Schönhage-Strassen-Algorithmus</a>.

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}" loading="lazy"> ein <a href="Kommutativit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Kommutativität">kommutativer</a> <a href="Unit%C3%A4rer_Ring" class="mw-redirect" title="Unitärer Ring">unitärer Ring</a>, in dem die Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"> (das ist die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy">-fache Summe der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}" loading="lazy">) eine <a href="Einheit_(Mathematik)" title="Einheit (Mathematik)">Einheit</a> ist. Des Weiteren gebe es in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}" loading="lazy"> eine primitive <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy">-te <a href="Einheitswurzel" title="Einheitswurzel">Einheitswurzel</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88b1e0c8e1be5ebe69d18a8010676fa42d7961e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.664ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle w}" loading="lazy">. Zu einem Tupel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=(a_{0},\dotsc ,a_{N-1})\in R^{N}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=(a_{0},\dotsc ,a_{N-1})\in R^{N}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b1ac8a5d9267747d3f5cb9a2acd721692b6bad39.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.918ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle a=(a_{0},\dotsc ,a_{N-1})\in R^{N}}" loading="lazy"> ist dann die diskrete Fouriertransformierte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {a}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {a}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/233a5bda7c263f804b049be11c03d12e3d65103a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\hat {a}}}" loading="lazy"> durch

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {a}}_{k}=\sum _{j=0}^{N-1}w^{-\,j\cdot k}\cdot a_{j}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a5dfc391a568c46e8f6a2e289d24ea18422ef536.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:18.736ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle {\hat {a}}_{k}=\sum _{j=0}^{N-1}w^{-\,j\cdot k}\cdot a_{j}}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=0,\dotsc ,N-1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=0,\dotsc ,N-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/224001f283e7bf7678fb5ab5633fca0231d64b93.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.717ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k=0,\dotsc ,N-1}" loading="lazy"></dd></dl>

erklärt. Unter den getroffenen Voraussetzungen existiert damit zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {a}}\in R^{N}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {a}}\in R^{N}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b31630e21fbd2c1ad591712aac0d4e8ab65031f0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.526ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\hat {a}}\in R^{N}}" loading="lazy"> auch die diskrete inverse Fouriertransformierte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> mit den Koeffizienten

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{k}={1 \over N}\sum _{j=0}^{N-1}w^{j\cdot k}\cdot {\hat {a}}_{j}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92a43dc6242fa65e4fdabaf68fcefbc765404046.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:20.357ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle a_{k}={1 \over N}\sum _{j=0}^{N-1}w^{j\cdot k}\cdot {\hat {a}}_{j}}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=0,\dotsc ,N-1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=0,\dotsc ,N-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/224001f283e7bf7678fb5ab5633fca0231d64b93.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.717ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k=0,\dotsc ,N-1}" loading="lazy">.</dd></dl>

Im überaus wichtigen Spezialfall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R=\mathbb {C} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R=\mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/58b370c20a4beca14023fa0e7557c3091d750805.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.541ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R=\mathbb {C} }" loading="lazy"> wird für die DFT üblicherweise die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy">-te Einheitswurzel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w=\exp \left(2\pi \,\mathrm {i} /N\right)}">

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w=\exp \left(2\pi \,\mathrm {i} /N\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c0e67f8823ecac2ec3f98bdab39625f9b4c65f20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.879ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle w=\exp \left(2\pi \,\mathrm {i} /N\right)}" loading="lazy"> benutzt. Dies ergibt die Formel im ersten Abschnitt.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Mehrdimensionale_DFT">Mehrdimensionale DFT</h3></div>

Die DFT kann leicht auf mehrdimensionale Signale erweitert werden. Sie wird dann je einmal auf alle Koordinatenrichtungen angewendet. Im wichtigen Spezialfall von zwei Dimensionen (<a href="Bildverarbeitung" title="Bildverarbeitung">Bildverarbeitung</a>) gilt etwa:

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {a}}_{k,l}=\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}a_{m,n}\cdot \mathrm {e} ^{-2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {mk}{M}}}\mathrm {e} ^{-2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {nl}{N}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/53a277fd2a542cf9d5bf7ee31d381f9298340b05.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:35.735ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {a}}_{k,l}=\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}a_{m,n}\cdot \mathrm {e} ^{-2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {mk}{M}}}\mathrm {e} ^{-2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {nl}{N}}}}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=0,\dotsc ,M-1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=0,\dotsc ,M-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/219a37057196864be3a1d6a03efd8f13ac9c83e1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.095ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k=0,\dotsc ,M-1}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l=0,\dotsc ,N-1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l=0,\dotsc ,N-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d60d00fe18e1871c4d9b278cc66c8b7ad07a85d5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.199ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle l=0,\dotsc ,N-1}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Rücktransformation lautet entsprechend:

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{m,n}={\frac {1}{MN}}\sum _{k=0}^{M-1}\sum _{l=0}^{N-1}{\hat {a}}_{k,l}\cdot \mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {mk}{M}}}\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {nl}{N}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d1f61329fe81b2998440ea0ee3949db256122e66.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:38.907ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle a_{m,n}={\frac {1}{MN}}\sum _{k=0}^{M-1}\sum _{l=0}^{N-1}{\hat {a}}_{k,l}\cdot \mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {mk}{M}}}\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {nl}{N}}}}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m=0,\dotsc ,M-1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m=0,\dotsc ,M-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961f7cefd07b210fd0068a7af56d5b4c151d95f1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.925ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle m=0,\dotsc ,M-1}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=0,\dotsc ,N-1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=0,\dotsc ,N-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e8e8182131fff8aae8005d5da011c9c8f0275719.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.9ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle n=0,\dotsc ,N-1}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Verschiebung_und_Skalierung_in_Zeit_und_Frequenz">Verschiebung und Skalierung in Zeit und Frequenz</h2></div>

In den Berechnungsformeln von DFT und iDFT kann die Summation (Indexvariable <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f461e54f5c093e92a55547b9764291390f0b5d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.027ex; width:0.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle j}" loading="lazy"> oben) statt über <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0,\dotsc ,N-1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0,\dotsc ,N-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2d9de100c41fd7dd4c525c396a5a6f9eb65eb05f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.407ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 0,\dotsc ,N-1}" loading="lazy"> ebenso über einen verschobenen Bereich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k,\dotsc ,N-1+k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k,\dotsc ,N-1+k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/67de6a8c8d345ae6cbc96cfd6908d434b3eb2650.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.508ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k,\dotsc ,N-1+k}" loading="lazy"> laufen, wenn der Vektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle a=(a_{0},\dotsc ,a_{N-1})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle a=(a_{0},\dotsc ,a_{N-1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6ebe8569b10e111f98999d2d19ae44ae5acd3aa3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.622ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \textstyle a=(a_{0},\dotsc ,a_{N-1})}" loading="lazy"> <a href="Periodische_Folge" title="Periodische Folge">periodisch</a> auf alle ganzzahligen Indizes fortgesetzt wird, denn es gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle w^{N+k}=w^{k}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle w^{N+k}=w^{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/acf7cafc49eed6381d286b88a055e57b004e0c50.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.342ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \textstyle w^{N+k}=w^{k}}" loading="lazy">. Wir können also die Summationsgrenzen beliebig verschieben, solange ein Segment der Länge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"> in den <a href="Ganze_Zahl" title="Ganze Zahl">ganzen Zahlen</a> überstrichen wird.

Wenden wir uns nun wieder dem komplexen Fall zu. In praktischen Anwendungen möchte man die Indizes mit einer äquidistanten Folge von Zeitpunkten verbinden,

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{n}:=nT}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eef6eace1dcaf0aad70d67d3e36abf5fbca820f2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.834ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle t_{n}:=nT}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=1-M,\cdots ,N-M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=1-M,\cdots ,N-M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/19661ec3376ac36d87acdebb20eebc353f40b69e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:23.463ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle n=1-M,\cdots ,N-M}" loading="lazy">,</dd></dl>

die ebenfalls die Länge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"> hat. Auch ist es wünschenswert, den berechneten Koeffizienten Frequenzen zuzuordnen, die um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy"> zentriert sind,

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{n}:=2\pi {\frac {n}{NT}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4571ea181b0c260313ab7b1fb7a258e530e3ab7e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:13.44ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle \omega _{n}:=2\pi {\frac {n}{NT}}}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=1-K,\dotsc ,N-K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=1-K,\dotsc ,N-K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7f0c778f0f3a287af4e1fc5a7ea1ab93aed68eb8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:22.71ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle n=1-K,\dotsc ,N-K}" loading="lazy"></dd></dl>

und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"> in der Nähe von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N/2}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N/2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/45c51c21b2bc7ea5e2fcae8f0f4aa49f6f19ebaf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.389ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N/2}" loading="lazy">.

Eine zu den gewählten Zeitpunkten „gemessene“ Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> ergibt den Beobachtungsvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle x\in \mathbb {C} ^{N}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle x\in \mathbb {C} ^{N}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6428ea8148b47c4371a8699b16322b3e3705db76.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.54ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \textstyle x\in \mathbb {C} ^{N}}" loading="lazy"> mit den Koeffizienten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle x_{n}=f(t_{n})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle x_{n}=f(t_{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/74b8c727332c7c588305f4cfca276a62c104f3e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.793ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \textstyle x_{n}=f(t_{n})}" loading="lazy">, dessen DFT <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle y_{n}={\hat {f}}(\omega _{n})=F(\omega _{n})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle y_{n}={\hat {f}}(\omega _{n})=F(\omega _{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/52c13b261db4425be2e8999351017165696adbcc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.942ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \textstyle y_{n}={\hat {f}}(\omega _{n})=F(\omega _{n})}" loading="lazy"> in der Fourier-Analyse betrachtet wird. Dann ist

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

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</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

</mrow>

</mrow>

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</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(\omega _{n})=\sum _{k=1-M}^{N-M}\mathrm {e} ^{-2\pi \mathrm {i} {\frac {nkT}{NT}}}x_{k}=\sum _{k=1-M}^{N-M}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,\omega _{n}\cdot t_{k}}f(t_{k})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a6a5521e43e80c0621a5c4c0dff8b0225358b393.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:47.866ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle F(\omega _{n})=\sum _{k=1-M}^{N-M}\mathrm {e} ^{-2\pi \mathrm {i} {\frac {nkT}{NT}}}x_{k}=\sum _{k=1-M}^{N-M}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,\omega _{n}\cdot t_{k}}f(t_{k})}" loading="lazy"></dd></dl>

und

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

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</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

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</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

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</mrow>

</msub>

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</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(t_{n})=x_{n}={\frac {1}{N}}\sum _{k=1-K}^{N-K}\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} {\frac {nkT}{NT}}}y_{k}={\frac {1}{N}}\sum _{k=1-K}^{N-K}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega _{k}\cdot t_{n}}F(\omega _{k})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0400c2599eb5b14be125f9572ed1d7b8df53acb7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:56.42ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle f(t_{n})=x_{n}={\frac {1}{N}}\sum _{k=1-K}^{N-K}\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} {\frac {nkT}{NT}}}y_{k}={\frac {1}{N}}\sum _{k=1-K}^{N-K}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega _{k}\cdot t_{n}}F(\omega _{k})}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele">Beispiele</h2></div>

Die <a href="Fourier-Transformation" title="Fourier-Transformation">Fourier-Transformation</a> transformiert eine Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5bf044fe2fbfc4bd8d6d7230f4108430263f9fd6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.927ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(t)}" loading="lazy"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g(v)^{*}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(v)^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e190ee058ffdacedb39b303763a0242febf1215.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.107ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g(v)^{*}}" loading="lazy"> von einer Zeitdarstellung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"> in den reziproken <a href="Frequenzraum" class="mw-redirect" title="Frequenzraum">Frequenzraum</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v:=1/t}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v:=1/t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86e159422a98b3331412568137a09d930b8b7b98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.037ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle v:=1/t}" loading="lazy">. Dies gilt auch für Ortsfunktionen, die auf ein (1D), zwei (2D) oder mehr Raumrichtungen definiert sind. Diese werden durch die Fouriertransformation, nacheinander in jeder Richtung, in Raumfrequenzen überführt. Beugungserscheinungen in der <a href="Beugung_(Physik)" title="Beugung (Physik)">Optik</a> oder Röntgenanalyse können unmittelbar als die Intensitätsverteilung einer Fouriertransformierten interpretiert werden. Die Phasenbeziehung geht bei der Fotografie normalerweise verloren. Lediglich bei der <a href="Holografie" title="Holografie">Holografie</a> wird die Phasenbeziehung durch eine Überlagerung mit einem Referenzstrahl mit aufgezeichnet.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Einfache_Blenden">Einfache Blenden</h3></div>

</td>

</td></tr></tbody></table>

Die Bilder rechts veranschaulichen zweidimensionale Fourier-Transformationen (2D FFT) an geometrischen Mustern, gerechnet für Quadrate der diskreten Größe von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\times a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\times a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6cee5d9936be152fa3084d49b6d293d17e6afbf5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.3ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a\times a}" loading="lazy"> Pixeln. Das Bild oben links zeigt einen Spalt der Größe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e\times f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e\times f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4f217d8ae43a343b72a95cdad47bd00bb4b326c7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.202ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle e\times f}" loading="lazy"> Pixel, daneben die Intensitätsverteilung des Beugungsbildes. Die Ortsvariable <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> wird überführt in reziproke komplexe Werte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r^{*}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cc488e611bcc916d2da5dec54181e4909297e088.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.103ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle r^{*}}" loading="lazy">. Bei den gewählten Größen wird ein Pixel auf den reziproken Wert von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1/a}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1/a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/77da3744bf9edd650bb5dc02004c95129e2bc826.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.555ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 1/a}" loading="lazy"> reziproken Pixeln überführt. Die Breite des Spalts von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}" loading="lazy"> Pixeln erscheint im Reziprokraum als Wert der Größe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r^{*}=a/e}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r^{*}=a/e}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5adcdfc38cd69fe0f4347c4fbbb8e0fb3cbbe50.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.677ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle r^{*}=a/e}" loading="lazy">, die Höhe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r^{*}=a/f}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r^{*}=a/f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec40969c1ba5277eb68db60c544d0f78a5625319.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.872ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle r^{*}=a/f}" loading="lazy">, mit harmonischen Frequenzen höherer Ordnung. Die berechneten Beugungsbilder geben die Intensitätsverteilungen der komplexen Größe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r^{*}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cc488e611bcc916d2da5dec54181e4909297e088.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.103ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle r^{*}}" loading="lazy"> wieder. Dass sie nur die Hälfte der Bildinformation tragen, erkennt man an ihrer Rotationssymmetrie.

Die periodischen Peaks entsprechen den Ortsfrequenzen höherer Ordnung eines Rechtecksignals. Ähnliche Beispiele finden sich unter den Stichworten <a href="Fourier-Analyse" class="mw-redirect" title="Fourier-Analyse">Fourier-Analyse</a>, <a href="Kontinuierliche_Fourier-Transformation" class="mw-redirect" title="Kontinuierliche Fourier-Transformation">Fourier-Transformation</a> oder <a href="Beugungsscheibchen" title="Beugungsscheibchen">Beugungsscheibchen</a>.

Im zweiten Teilbild wird ein regelmäßiges Sechseck gebeugt. Wieder erscheint die Größe der Figur als Periode im Beugungsbild rechts. Die 6-zählige Symmetrie ist deutlich zu erkennen. Eine Verschiebung des Ausgangsbildes – im Gegensatz zu einer Drehung – würde sich nur in der Phasenbeziehung auswirken, die in der gewählten Darstellung als Intensitätsverteilung nicht zu erkennen ist.

Das untere Teilbild zeigt rechts das berechnete Beugungsmuster eines Dreiecks. Die 6-zählige Symmetrie ist nur vorgetäuscht, was an der fehlenden Modulation der Beugungssterne zu erkennen ist.

Die zweite Bildserie vergleicht die Beugung zweier Kreisöffnungen. Ein großer Kreis erzeugt ein kleines Beugungsmuster, und umgekehrt. Bei einem Fernrohr begrenzt die Lichtbeugung an der Linsenöffnung die Auflösung. Je größer der Durchmesser ist, desto kleiner ist das Beugungsbild eines Sterns, desto besser können nahe beieinander liegende Sterne voneinander unterschieden werden.

Das untere Bild ist ein Beispiel für eine Beugung an einer Kreisstruktur ohne scharfe Begrenzung. Bei einer sinusförmigen Intensitätsabnahme am Rad treten keine Beugungen höherer Ordnung auf (siehe auch <a href="Zonenplatte" class="mw-redirect" title="Zonenplatte">Zonenplatte</a>).

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bild_mit_periodischen_Strukturen">Bild mit periodischen Strukturen</h3></div>

Die Aufnahme links zeigt eine <a href="Synthetic_Aperture_Radar" title="Synthetic Aperture Radar">SAR</a>-Aufnahme des Indischen Ozeans mit Wasserwellen unterschiedlicher Wellenlänge. Die <a href="Interne_Wellen" class="mw-redirect" title="Interne Wellen">internen Wellen</a> oben rechts haben eine Wellenlänge von ca. 500 m. Die durch Wind erzeugten <a href="Wasserwelle" title="Wasserwelle">Oberflächenwellen</a> sind in der verkleinerten Darstellung nicht erkennbar. Im gerechneten Beugungsbild geben die beiden dunklen Reflexe (siehe kurzer Pfeil) sowohl die Richtung als auch die mittlere Wellenlänge der regelmäßigen langperiodischen Wasserwellen an. Die Wellenlängen der Oberflächenwellen variieren stärker, weshalb sie keine scharfen Reflexe liefern. Es liegen zwei ausgezeichnete Richtungen für die Wellenausbreitung vor, die im Direktbild nur undeutlich zu sehen sind. Die Wellenlängen betragen ca. 150 m (langer Pfeil) und 160 m (etwas kürzerer Pfeil).<div style="clear:both;"></div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Mathematische_Grundlagen">Mathematische Grundlagen</h2></div>

Wir betrachten den Vektorraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V:=\mathbb {C} ^{N}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V:=\mathbb {C} ^{N}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0157e2dbc99446356c7c3130d7fef29028fe4376.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.902ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle V:=\mathbb {C} ^{N}}" loading="lazy"> und statten ihn mit einem Skalarprodukt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle ,\rangle }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle ,\rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/528cb832a8e8af1633a9396fef5bb588f563395b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.843ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle ,\rangle }" loading="lazy"> aus, welches wir unten definieren.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Einheitswurzeln">Einheitswurzeln</h3></div>

Die in der diskreten Fouriertransformation auftretenden komplexen Zahlen

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {e}}_{N}(n):=\exp \left({\frac {2\pi \mathrm {i} \,n}{N}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e73b8108e90c6ea4066aa6ceba3d4d2d3c24489f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:22.457ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {e}}_{N}(n):=\exp \left({\frac {2\pi \mathrm {i} \,n}{N}}\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy">-te <a href="Einheitswurzel" title="Einheitswurzel">Einheitswurzeln</a>, d. h., sie sind Lösungen der Gleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q^{N}=1}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q^{N}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/956ed91080b7b5c96794cc4b19778fc1c5e40077.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.032ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle q^{N}=1}" loading="lazy">. Betrachte nun die „kleinste“ primitive Wurzel im ersten Quadranten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q:={\mathcal {e}}_{N}(1)=\mathrm {e} ^{2\pi \,i/N}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q:={\mathcal {e}}_{N}(1)=\mathrm {e} ^{2\pi \,i/N}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/179b77d38aa487e59ad8eee30534d977f8df236c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.924ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle q:={\mathcal {e}}_{N}(1)=\mathrm {e} ^{2\pi \,i/N}}" loading="lazy">. Notiere das <a href="Kronecker-Delta" title="Kronecker-Delta">Kronecker-Delta</a> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta _{n,m}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta _{n,m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a7181c7ee445ed0d279b5bec39e12c127bd5fb37.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:4.151ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \delta _{n,m}}" loading="lazy">. Die Einheitswurzel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" loading="lazy"> genügt folgender Identität <a href="Geometrische_Reihe" title="Geometrische Reihe">geometrischer</a> Summen von Einheitswurzeln

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}q^{nk}=N\delta _{0,n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/633aed574e116b6320412269e731445cab90ce7f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:15.793ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}q^{nk}=N\delta _{0,n}}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=0,\dotsc ,N-1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=0,\dotsc ,N-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e8e8182131fff8aae8005d5da011c9c8f0275719.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.9ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle n=0,\dotsc ,N-1}" loading="lazy"></dd></dl>

wegen der Formel für geometrische Reihen

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}x^{k}={\frac {x^{N}-1}{x-1}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01c21665cf28596ef57347b60e4cfabf5ec14ae5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:17.324ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}x^{k}={\frac {x^{N}-1}{x-1}}}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\neq 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\neq 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b9958361c7255c54e0e839727cf67a0f8ada2324.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.591ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x\neq 1}" loading="lazy">.</dd></dl>

Dieses ist der „tiefe Grund“, weshalb die inverse DFT funktioniert.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Skalarprodukt_und_ONB">Skalarprodukt und ONB</h3></div>

Für zwei Vektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v,y\in \mathbb {C} ^{N}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v,y\in \mathbb {C} ^{N}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b42b116ccd5b4c434e21b1331c820fda19a6d2bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.527ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle v,y\in \mathbb {C} ^{N}}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v=(v_{0},\dots ,v_{N-1})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v=(v_{0},\dots ,v_{N-1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3df34c772cc0c5c1eb62e8863a9b445730d9f8a3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.315ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle v=(v_{0},\dots ,v_{N-1})}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=(y_{0},\dots ,y_{N-1})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=(y_{0},\dots ,y_{N-1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/98532b4eb8a89a737f23bd350d850077143a28e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.366ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y=(y_{0},\dots ,y_{N-1})}" loading="lazy"> definieren wir folgendes <a href="Komplexe_Zahlen" class="mw-redirect" title="Komplexe Zahlen">komplexe</a> Skalarprodukt

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle v,y\rangle :={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}v_{k}{\overline {y_{k}}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e982d15420f11dcabfd5e1bd2edd990ed7beba2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:21.311ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \langle v,y\rangle :={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}v_{k}{\overline {y_{k}}}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Der Faktor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N^{-1}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N^{-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5cd7e80adc1ffe0bf0faf948abd2be9069a18e8e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.456ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle N^{-1}}" loading="lazy"> dient der Normierung der <a href="Skalarproduktnorm" title="Skalarproduktnorm">Skalarproduktnorm</a>, so dass für passende Vektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|e_{i}\|^{2}=\langle e_{i},e_{i}\rangle =1}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|e_{i}\|^{2}=\langle e_{i},e_{i}\rangle =1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b9ed049048bda6dc3780eef089318c0ea6b2d6f4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.231ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \|e_{i}\|^{2}=\langle e_{i},e_{i}\rangle =1}" loading="lazy"> gilt.

In <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f1a093c818bd6ea93f8a94d0aed556d907c4ba46.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.37ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}" loading="lazy"> definieren wir die Basis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F:=\{f_{0},f_{1},\dots ,f_{N-1}\}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F:=\{f_{0},f_{1},\dots ,f_{N-1}\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e1cd57c1e4ff28a1a82ec714fe76af3ba859084a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.341ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F:=\{f_{0},f_{1},\dots ,f_{N-1}\}}" loading="lazy"> durch

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msub>

<mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{n}:={\bigg (}{\mathcal {e}}_{N}(0),{\mathcal {e}}_{N}(n),{\mathcal {e}}_{N}(2n),\dots ,{\mathcal {e}}_{N}\left((N-1)n\right){\bigg )}=\left(\exp \left({\frac {2\pi \mathrm {i} nk}{N}}\right)\right)_{k=0,\dots ,N-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a439757487b5e673dd88f3a031a208cc5cab99a8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:79.932ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle f_{n}:={\bigg (}{\mathcal {e}}_{N}(0),{\mathcal {e}}_{N}(n),{\mathcal {e}}_{N}(2n),\dots ,{\mathcal {e}}_{N}\left((N-1)n\right){\bigg )}=\left(\exp \left({\frac {2\pi \mathrm {i} nk}{N}}\right)\right)_{k=0,\dots ,N-1}}" loading="lazy"></dd></dl>

für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=0,\dotsc ,N-1.}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=0,\dotsc ,N-1.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/20f06b8dba218fa3166086e0ba1f0e281be6793c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.547ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle n=0,\dotsc ,N-1.}" loading="lazy">

Diese bilden eine <a href="Orthonormalbasis" title="Orthonormalbasis">Orthonormalbasis</a> bezüglich des vorher definierten Skalarproduktes (aus der Eigenschaft der Einheitswurzeln), das heißt es gilt

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle f_{n},f_{m}\rangle ={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}\exp \left({\frac {2\pi \mathrm {i} (n-m)k}{N}}\right)=\delta _{n,m}={\begin{cases}1&n=m\\0&n\neq m\end{cases}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/04a54d97af94d4d7de731971565ad8998a92f9b6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:61.456ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \langle f_{n},f_{m}\rangle ={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}\exp \left({\frac {2\pi \mathrm {i} (n-m)k}{N}}\right)=\delta _{n,m}={\begin{cases}1&n=m\\0&n\neq m\end{cases}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Da <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> eine Orthonormalbasis ist, lässt sich jeder Vektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{N}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{N}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8b2ca7f5aed3a221a048bb3f229d3c80e3f06e22.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.54ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{N}}" loading="lazy"> bezüglich dieser Basis darstellen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{0},x_{1},\dots ,x_{N-1})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{0},x_{1},\dots ,x_{N-1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e316eee899eb10e6becb4a3b738e4ad494fd9196.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.911ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{0},x_{1},\dots ,x_{N-1})}" loading="lazy"> mit der Eigenschaft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle x,f_{n}\rangle =x_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle x,f_{n}\rangle =x_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b25239ccf59028e64d8cbaf159c9bfb97bd69ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.177ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle x,f_{n}\rangle =x_{n}}" loading="lazy"> und daraus folgt die Darstellung

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \displaystyle x=\sum _{n=0}^{N-1}\langle x,f_{n}\rangle f_{n}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9ee597529582934bbf652ab518ba25e538c84be0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:17.523ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle \displaystyle x=\sum _{n=0}^{N-1}\langle x,f_{n}\rangle f_{n}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Koeffizienten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{\langle x,f_{0}\rangle ,\langle x,f_{1}\rangle ,\dots \langle x,f_{N-1}\rangle \}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{\langle x,f_{0}\rangle ,\langle x,f_{1}\rangle ,\dots \langle x,f_{N-1}\rangle \}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fabf71921a41e4c93a4cf1841827a5b62dcf91d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.34ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{\langle x,f_{0}\rangle ,\langle x,f_{1}\rangle ,\dots \langle x,f_{N-1}\rangle \}}" loading="lazy"> heißen (auch allgemein bei beliebigem Orthonormalsystem) Fourier-Koeffizienten, die DFT ordnet also einem Vektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> bis auf eine additive Konstante den Vektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X=\operatorname {DFT} (x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X=\operatorname {DFT} (x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/91ce80a5c8536d8010f9c39f25a3a27bb5c447f2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.189ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle X=\operatorname {DFT} (x)}" loading="lazy"> der Fourier-Koeffizienten zu.

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y=\operatorname {DFT} (y)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y=\operatorname {DFT} (y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b6ea88a66c22aceae0ec10ac228b58a54aaea9f7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.808ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Y=\operatorname {DFT} (y)}" loading="lazy"> mit einem weiteren Vektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=(y_{0},\dotsc ,y_{N-1})\in \mathbb {C} ^{N}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=(y_{0},\dotsc ,y_{N-1})\in \mathbb {C} ^{N}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c68d07bf0247ebfec71870f915aa72285065ac16.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.576ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle y=(y_{0},\dotsc ,y_{N-1})\in \mathbb {C} ^{N}}" loading="lazy">, so gilt die <a href="Parsevalsche_Gleichung" title="Parsevalsche Gleichung">Parsevalsche Gleichung</a> für Fourier-Koeffizienten:

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{n=0}^{N-1}\langle x,f_{n}\rangle \langle f_{n},y\rangle =\sum _{n=0}^{N-1}X_{n}{\bar {Y}}_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e102da33db17a48de9d5c4b02438fef5fa887f5d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:38.053ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{n=0}^{N-1}\langle x,f_{n}\rangle \langle f_{n},y\rangle =\sum _{n=0}^{N-1}X_{n}{\bar {Y}}_{n}}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Interpretationen_der_DFT">Interpretationen der DFT</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Diskretisierung_der_Fourier-Transformation">Diskretisierung der Fourier-Transformation</h3></div>

<div class="sieheauch" role="navigation" style="font-style:italic;">Siehe auch: <a href="Riemann-Integral" class="mw-redirect" title="Riemann-Integral">Riemann-Integral</a></div>

Die <a href="Fourier-Transformation" title="Fourier-Transformation">Fourier-Transformation</a> erlaubt es, sich Funktionen mit reellem Argument (und diversen Einschränkungen wie: <a href="Lebesgue-Integral" title="Lebesgue-Integral">Integrabilität</a>, Periodizität oder Abfall im Unendlichen) aus Schwingungen zusammengesetzt zu denken:

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\omega )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega t}\,\mathrm {d} \omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4c07f60f3288efee9147e5560503b9a438133a9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:28.931ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle f(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\omega )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega t}\,\mathrm {d} \omega }" loading="lazy"></dd></dl>

Eine wichtige Erkenntnis der Fouriertheorie ist, dass die Amplitude <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {f}}(\omega )}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {f}}(\omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/da025143bf9022518b500499a162948abb66d437.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.954ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {f}}(\omega )}" loading="lazy"> sich ähnlich bestimmen lässt zu

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}\,\mathrm {d} t.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0ef8ee9f617ae96067a7604efe3734f57c23a8fc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:30.25ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}\,\mathrm {d} t.}" loading="lazy"></dd></dl>

Wählen wir einen Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}" loading="lazy"> so groß, dass außerhalb des Intervalls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [-R,R]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [-R,R]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/090cf4334b9bfaf16a2418fe7d5f4effeff0fca1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.664ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [-R,R]}" loading="lazy"> nur noch ein unwesentlicher Teil von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> liegt, ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> außerdem stetig und eine Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"> so groß gewählt, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T:=R/N}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T:=R/N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b406a133904975e8f5a9fb9f7f087028222297ad.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.372ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T:=R/N}" loading="lazy"> klein genug ist, um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> sinnvoll singulär, d. h. durch Funktionswerte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(kT)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(kT)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5639f3e7d071020279cc681c04ae5cc8a9b3d8ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.935ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(kT)}" loading="lazy">, abzutasten, so kann das Fourierintegral in der Transformationsformel sinnvoll durch eine Summe ersetzt werden:

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {f}}(\omega )\approx F(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{k=-N}^{N}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega kT}f(kT)\,T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/531d07bdce2606fd540fc0e59ac1c421fc36f342.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:41.056ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {f}}(\omega )\approx F(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{k=-N}^{N}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega kT}f(kT)\,T}" loading="lazy"></dd></dl>

Das entspricht, bis auf einen konstanten Faktor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T/{\sqrt {2\pi }}}">

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T/{\sqrt {2\pi }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fb85ed042dad01dcf0a94918aad7931acb72ee1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.229ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle T/{\sqrt {2\pi }}}" loading="lazy">, der Berechnungsformel der DFT. Der Vektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=(f(-NT),\dotsc ,f(NT))}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=(f(-NT),\dotsc ,f(NT))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0f3d52c8a6253754fb0aaf7487ddc5a83d9fac44.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.799ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x=(f(-NT),\dotsc ,f(NT))}" loading="lazy"> hat <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2N+1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2N+1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d862395d02c6c80fb2ec2ebd027e13279c2c8ea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.229ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 2N+1}" loading="lazy"> Elemente. Wir wissen bereits, dass es ausreicht, die Frequenzkoeffizienten für die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2N+1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2N+1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d862395d02c6c80fb2ec2ebd027e13279c2c8ea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.229ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 2N+1}" loading="lazy"> Frequenzen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{n}:=2\pi \cdot {\frac {n}{(2N+1)T}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{n}:=2\pi \cdot {\frac {n}{(2N+1)T}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/455e46e49ff751d03f6c4257a15211cffe705938.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:22.094ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \omega _{n}:=2\pi \cdot {\frac {n}{(2N+1)T}}}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=-N,\dotsc ,-1,0,1,\dotsc ,N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=-N,\dotsc ,-1,0,1,\dotsc ,N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8873baa03c22b70913efc5b2053f79b5729effc1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:28.148ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle n=-N,\dotsc ,-1,0,1,\dotsc ,N}" loading="lazy"> zu bestimmen, um die Funktionswerte im Vektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> zu rekonstruieren. Mit der notwendigen Anpassung der Konstanten in der iDFT erhalten wir

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(nT)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{k=-N}^{N}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega _{k}nT}F(\omega _{k})\,{\frac {2\pi }{(2N+1)T}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e210dffed58ddf31848c3c14188b313264850042.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:44.507ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle f(nT)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{k=-N}^{N}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega _{k}nT}F(\omega _{k})\,{\frac {2\pi }{(2N+1)T}}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Der Diskretisierungsabstand im Frequenzbereich ist proportional zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1/R}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1/R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5a362806e220bd4ab2a27e589b42bd01f7a6f28a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.089ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 1/R}" loading="lazy">, also nach Voraussetzung ebenfalls klein, sodass diese Berechnung der Diskretisierung der inversen Fourier-Transformation entspricht.

Beim Übergang von der Fourier-Transformation zur DFT sind also folgende Veränderungen zu bemerken:

<ul><li>Das Signal liegt zu <a href="Diskretheit" class="mw-redirect" title="Diskretheit">diskreten</a>, äquidistanten Zeitpunkten vor (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T=}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T=}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/171d587325b2aad818d6ee7ea41d5874030ece6b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T=}" loading="lazy"> Abstand zweier aufeinanderfolgender Zeitpunkte), <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy"> ist einer dieser Zeitpunkte.</li>

<li>Das Signal hat eine endliche Länge (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2N+1=}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2N+1=}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13b57d768713ff8c8fb8f3c56fe2579948389015.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.682ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 2N+1=}" loading="lazy"> Anzahl der Werte), die als Werte innerhalb eines großen Intervalls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [-NT,NT]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [-NT,NT]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/674bd28707c1c23a4f9807abcad5f3988a79f420.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.536ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [-NT,NT]}" loading="lazy"> interpretiert werden.</li>

<li>Die Integrale bei der Berechnung der Fourier-Koeffizienten werden bei der DFT zu Summen.</li>

<li>Das Spektrum wird nur für eine endliche Anzahl von (Kreis-)Frequenzen berechnet <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega =2\pi n/((2N+1)T)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega =2\pi n/((2N+1)T)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db0ffac49209f63e47c6379b4d6cd887c31e440b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.08ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \omega =2\pi n/((2N+1)T)}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=-N,\dotsc ,-1,0,1,2,\dotsc ,N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=-N,\dotsc ,-1,0,1,2,\dotsc ,N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a015c4f2e134037290918b716312741ee752d55.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:30.345ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle n=-N,\dotsc ,-1,0,1,2,\dotsc ,N}" loading="lazy"> und ist periodisch in der Frequenz, wobei die Periode <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\pi /T}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\pi /T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b46e96e91f5fa4a8480b0886f8bda891af41d50c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.293ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 2\pi /T}" loading="lazy"> nach Voraussetzung (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> klein) sehr groß ist.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Diskretisierung_von_Fourier-Reihen">Diskretisierung von Fourier-Reihen</h3></div>

Jede periodische Funktion mit reellem Argument (und wieder Einschränkungen wie: Integrabilität, keine Polstellen) und Periode <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> kann als <a href="Funktionenreihe" class="mw-redirect" title="Funktionenreihe">Funktionenreihe</a> mit Sinusoiden, die Bruchteile von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> als Periode haben, dargestellt werden (sogenannte <a href="Fourier-Reihe" class="mw-redirect" title="Fourier-Reihe">Fourier-Reihen</a>):

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(t)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(f)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \cdot \omega _{n}t}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9037cf211514a28d3fe0d14777b486f41fc00175.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:20.842ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle f(t)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(f)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \cdot \omega _{n}t}}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{n}={\frac {2\pi n}{L}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{n}={\frac {2\pi n}{L}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f22a1ad152165b4c531357c6b03b36f4c7a8bd24.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:10.488ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \omega _{n}={\frac {2\pi n}{L}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Brechen wir die <a href="Reihenentwicklung" title="Reihenentwicklung">Reihenentwicklung</a> bei großen Grenzen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1-M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1-M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1fe884a351746ddc5ec6f66d03c0a3780adef4c0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.445ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 1-M}" loading="lazy"> unten und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N-M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N-M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6b6ca84e6fdfb84c4f3eaf35ce7e4ceae5fce97b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.346ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle N-M}" loading="lazy"> oben ab, so erhalten wir mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T:=L/N}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T:=L/N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8b31833c3bdc1bd29e4b5d53eade240c52880da8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.19ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T:=L/N}" loading="lazy">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(t_{k})=f(kT)\approx \sum _{n=1-M}^{N-M}c_{n}(f)\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {nk}{N}}},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4d7ab1e091501dec20e0b3378c8c67ef18a90da8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:35.863ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle f(t_{k})=f(kT)\approx \sum _{n=1-M}^{N-M}c_{n}(f)\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {nk}{N}}},}" loading="lazy"></dd></dl>

d. h., wir erhalten eine Form der inversen DFT. Damit können die Koeffizienten mittels DFT approximiert werden zu

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{n}(f)\approx {\frac {1}{L}}\sum _{k=0}^{N-1}f(kT)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \cdot {\frac {2\pi nk}{N}}}\cdot {\frac {L}{N}}={\frac {1}{L}}\sum _{k=0}^{N-1}f(t_{k})\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \cdot {\frac {2\pi n}{L}}t_{k}}\cdot T.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/944a2c745c116e6e489aa6ff59317a235cc897a4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:59.711ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle c_{n}(f)\approx {\frac {1}{L}}\sum _{k=0}^{N-1}f(kT)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \cdot {\frac {2\pi nk}{N}}}\cdot {\frac {L}{N}}={\frac {1}{L}}\sum _{k=0}^{N-1}f(t_{k})\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \cdot {\frac {2\pi n}{L}}t_{k}}\cdot T.}" loading="lazy"></dd></dl>

Im Grenzfall eines unendlich großen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"> ergeben sich die bekannten Koeffizientenintegrale der Fourier-Reihen:

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{n}(f)={\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}f(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \cdot {\frac {2\pi n}{L}}t}\,\mathrm {d} t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b47138fc9a9968a7ae96b66f8d0737a151e92c79.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:28.988ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle c_{n}(f)={\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}f(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \cdot {\frac {2\pi n}{L}}t}\,\mathrm {d} t}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ausgleichsrechnung_mit_trigonometrischen_Funktionen">Ausgleichsrechnung mit trigonometrischen Funktionen</h3></div>

Das Ergebnis einer DFT-Berechnung kann auch als eine Modellierung des Originalsignals mit Hilfe von trigonometrischen Funktionen interpretiert werden. Ein verständlicher Nachweis der Relation zwischen Ausgleichsrechnung (Methode der kleinsten Fehlerquadrate) und der diskreten Fourier-Transformation findet sich in<a href="#cite_note-3">[3]</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Spektrum_abgetasteter_Funktionen">Spektrum abgetasteter Funktionen</h3></div>

Die diskrete Fourier-Transformation besitzt ein periodisches Spektrum, es wiederholt sich mit der Abtastfrequenz und ist symmetrisch zur Abtastfrequenz. Es gilt:

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F\left(\omega +{\frac {2\pi }{T}}m\right)=C\sum _{k=0}^{N-1}f(kT)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega kT}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\frac {2\pi }{T}}mkT}=F(\omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d64b1fc418e1349346b8839b7c59c8fada640df2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:53.196ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle F\left(\omega +{\frac {2\pi }{T}}m\right)=C\sum _{k=0}^{N-1}f(kT)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega kT}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\frac {2\pi }{T}}mkT}=F(\omega )}" loading="lazy"> (wegen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi mk}=1}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi mk}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec533a00fb7107b62158f90f796d3818c344259b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.325ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi mk}=1}" loading="lazy"> für natürliche Zahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy">)</dd>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F\left({\frac {2\pi }{T}}-\omega \right)=C\sum _{k=0}^{N-1}f(kT)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\frac {2\pi }{T}}kT}\mathrm {e} ^{+\mathrm {i} \omega kT}=F^{*}(\omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c708d28f4a562323f72dff41d47f9a60134046d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:50.841ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle F\left({\frac {2\pi }{T}}-\omega \right)=C\sum _{k=0}^{N-1}f(kT)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\frac {2\pi }{T}}kT}\mathrm {e} ^{+\mathrm {i} \omega kT}=F^{*}(\omega )}" loading="lazy"></dd></dl>

Enthält das abgetastete Signal Frequenzanteile oberhalb der halben Abtastfrequenz, überlappen sich die Spektren des ursprünglichen Signals mit den an der Abtastfrequenz gespiegelten Signalanteilen, und es kommt zum <a href="Alias-Effekt" title="Alias-Effekt">Alias-Effekt</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Alias-Effekt">Alias-Effekt</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Alias-Effekt" title="Alias-Effekt">Alias-Effekt</a></div>

In der Regel entsteht das zeitdiskrete Signal durch <a href="Abtastung_(Signalverarbeitung)" title="Abtastung (Signalverarbeitung)">Diskretisierung</a> eines kontinuierlichen Signals. Die durch die DFT entstehenden Spektren sind nur dann mit den Spektren des zugrundeliegenden kontinuierlichen Signals identisch, wenn bei der Abtastung das <a href="Nyquist-Shannon-Abtasttheorem" title="Nyquist-Shannon-Abtasttheorem">Abtasttheorem</a> nicht verletzt wurde. Für Signale im <a href="Basisband" title="Basisband">Basisband</a> muss gelten, dass die Abtastfrequenz mehr als doppelt so groß ist wie die maximal auftretende Frequenz (<a href="Nyquist-Frequenz" title="Nyquist-Frequenz">Nyquist-Frequenz</a>). Bei Verletzung des Abtasttheorems tritt eine Verfälschung des Originalsignals auf (Aliasing im Zeitbereich). Eine Möglichkeit des <a href="Antialiasing_(Signalverarbeitung)" title="Antialiasing (Signalverarbeitung)">Antialiasing</a> ist die Bandbegrenzung des Signals am Eingang des Systems, um diesen Effekt zu vermeiden.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="DFT_einer_zeitbegrenzten_Funktion">DFT einer zeitbegrenzten Funktion</h3></div>

Für periodische Funktionen ergibt sich (analog zur kontinuierlichen <a href="Fourier-Transformation" title="Fourier-Transformation">Fourier-Transformation</a>) ein Linienspektrum mit einem Frequenzlinienabstand von 1/Periodenlänge.

Eine zeitbegrenzte diskrete Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g(kT)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(kT)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/19495c48f6237905373b04125dd182e5a648a861.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.773ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g(kT)}" loading="lazy"> kann man aus einer periodischen diskreten Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(kT)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(kT)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5639f3e7d071020279cc681c04ae5cc8a9b3d8ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.935ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(kT)}" loading="lazy"> ableiten, indem man über ein Zeitfenster <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/327b8c0fa7ba996b29c530b495c276a7ebdea2ec.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.313ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle w(t)}" loading="lazy"> genau eine Periode herausschneidet:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(kT)=f(kT)\cdot w(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/df335077ff66e074edcb3eb4f5a8b88b67a59af5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.799ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g(kT)=f(kT)\cdot w(t)}" loading="lazy"></dd></dl>

Da bei der Fourier-Transformation eine Multiplikation von Funktionen im Zeitbereich einer <a href="Faltung_(Mathematik)" title="Faltung (Mathematik)">Faltung</a> der Fourier-Transformierten im Frequenzbereich entspricht, ergibt sich die DFT der zeitbegrenzten Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G(\omega )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G(\omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2675b545a63f2b8124f1088e17139dfc0552bf68.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.082ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle G(\omega )}" loading="lazy"> durch die Faltung der DFT der periodischen Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(\omega )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(\omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a8b7875389a7510112a38d09dd272727315ca969.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.996ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(\omega )}" loading="lazy"> mit der Fourier-Transformierten des Zeitfensters <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W(\omega )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W(\omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3471a08c4a9a7dba8735136565aaa085022dce1f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.69ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle W(\omega )}" loading="lazy">:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G(\omega )=F(\omega )\star W(\omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c8983d59931bad2471b0b61d1ade5a20431b8f24.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.061ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle G(\omega )=F(\omega )\star W(\omega )}" loading="lazy"></dd></dl>

Als Ergebnis erhält man ein Linienspektrum, das durch die Fourier-Transformierte des Zeitfensters verschmiert ist. In Abb. 3 rechts gestrichelt dargestellt ist der Einfluss des Zeitfensters auf die DFT der periodischen Funktion (dicke Linien). Durch die Zeitbegrenzung kommen Frequenzanteile zwischen den analysierten Frequenzlinien hinzu.

Durch den Übergang von einer periodischen Funktion auf eine zeitbegrenzte Funktion muss nicht das Rechenverfahren zur Bestimmung des Spektrums verändert werden. Es werden weiterhin diskrete Frequenzlinien berechnet, als ob eine periodische Funktion dahinterstände. Als Effekt des Zeitfensters steht nun jede berechnete Frequenzlinie stellvertretend für einen ganzen Frequenzbereich, nämlich für den Frequenzbereich, der durch die Fourier-Transformierte des Zeitfensters hinzugekommen ist. Dieses Verhalten bezeichnet man auch als Leck-Effekt.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Leck-Effekt_(Leakage_effect)">Leck-Effekt (Leakage effect)</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Leck-Effekt" title="Leck-Effekt">Leck-Effekt</a></div>

Aufgrund der zeitlichen Begrenzung des Signals kann es dazu kommen, dass das Eingangssignal abgeschnitten wird. Ein abgeschnittenes Eingangssignal kann nur dann korrekt mit der DFT transformiert werden, wenn es periodisch fortsetzbar ist. Falls das Signal nicht periodisch fortsetzbar ist, enthält es Frequenzen, die nicht zu den von der DFT berechneten diskreten Frequenzen gehören. Die DFT „nähert“ diese Frequenzen durch die benachbarten Frequenzen an, dabei wird die Energie auf diese Frequenzen verteilt. Dies wird als <a href="Leck-Effekt" title="Leck-Effekt">Leck-Effekt</a> (englisch leakage effect) bezeichnet.

Die zeitliche Begrenzung kommt einer Multiplikation mit einer <a href="Rechteckfunktion" title="Rechteckfunktion">Rechteckfunktion</a> gleich und entspricht einer Faltung mit der <a href="Si-Funktion" class="mw-redirect" title="Si-Funktion">si-Funktion</a> im Frequenzbereich. Dies ist eine andere Betrachtungsweise, um den Leck-Effekt zu erklären. Das gilt natürlich auch im Falle anderer <a href="Fensterfunktion" title="Fensterfunktion">Fensterfunktionen</a> (z. B. Hamming, von Hann, Gauss). Somit ist das Spektrum der Fensterfunktion (bzw. die Breite des Spektrums) ausschlaggebend für das Leck. Die Amplitudengenauigkeit ist das andere Kriterium einer Fensterfunktion.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Gleitende_DFT_als_Bandfilterbank">Gleitende DFT als Bandfilterbank</h3></div>

Eine DFT einer zeitbegrenzten Funktion kann man auch als Bandfilterbank ansehen.

<ul><li>Die Mittenfrequenzen dieser Bandfilter entsprechen den Frequenzlinien der Funktion, die entsteht, wenn man den betrachteten Zeitabschnitt periodisch wiederholt (Vielfache von 1/Fensterbreite).</li>

<li>Die Breite und <a href="Flankensteilheit" title="Flankensteilheit">Flankensteilheit</a> der Bandfilter wird durch die Fourier-Transformierten des Zeitfensters bestimmt (siehe Abb. 3).</li></ul>

Durch die Wahl einer geeigneten Zeitfenster-Funktion kann man die Eigenschaften der Bandfilter verändern.

<ul><li>Bei einem rechteckförmigen Zeitfenster mit Unstetigkeitsstellen an den Fenstergrenzen werden Frequenzen außerhalb des Übertragungsbereichs des Bandfilters mit 1/Frequenz abgeschwächt; man erzielt Flankensteilheiten von 6 dB/Oktave (siehe Abb. 2).</li>

<li>Ist die Fensterfunktion stetig, werden Frequenzen außerhalb des Übertragungsbereichs des Bandfilters mit 1/Frequenz2 abgeschwächt; man erzielt Flankensteilheiten von 12 dB/Oktave.</li>

<li>Ist die 1. Ableitung der Fensterfunktion stetig, werden Frequenzen außerhalb des Übertragungsbereichs des Bandfilters mit 1/Frequenz3 abgeschwächt; die Flankensteilheit beträgt 18 dB/Oktave.</li>

Bestimmt man die Fourier-Transformierte von jeweils aufeinanderfolgenden Zeitabschnitten, erhält man die gleitende Fourier-Transformation. Mit der Analyse eines neuen Zeitabschnitts erhält man dann neue Abtastwerte für den Zeitverlauf der Spektrallinien (das heißt den Zeitverlauf der Signale an den Ausgängen der „Bandfilter“).

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Unschärfe-Relation_der_gleitenden_DFT">Unschärfe-Relation der gleitenden DFT</h3></div>

Zeit- und Frequenzauflösung der gleitenden DFT können nicht unabhängig voneinander gewählt werden.

<ul><li>Will man Signale mit hoher <a href="Frequenzaufl%C3%B6sung" title="Frequenzauflösung">Frequenzauflösung</a> analysieren, muss man die Zeitfenster sehr groß machen, man erhält eine geringe Zeitauflösung.</li>

<li>Benötigt man eine hohe Zeitauflösung, muss man die Breite der Zeitfenster sehr kurz machen, dann kann man aber nur wenige Frequenzlinien bestimmen.</li>

<li>Es gilt: Frequenzauflösung ≈ 1/Zeitfensterbreite (wird eine Frequenzauflösung von 1 kHz gewünscht, muss das Zeitfenster mindestens 1 ms lang sein).</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Numerische_Berechnung">Numerische Berechnung</h2></div>

Die effiziente Berechnung für beliebige Blocklängen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"> kann mit einer sogenannten <a href="Schnelle_Fourier-Transformation" title="Schnelle Fourier-Transformation">schnellen Fourier-Transformation</a> (FFT) erfolgen. Für <a href="Primfaktorzerlegung" title="Primfaktorzerlegung">faktorisierbare</a> Blocklängen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N=KM}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N=KM}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b53f26a26df403143dbdab466b2e10ccd28af47.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.67ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N=KM}" loading="lazy"> gibt es eine Zerlegung der DFT der Länge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"> in ein Produkt von DFTs der Längen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> sowie zweier einfacher Matrizen, die in Summe schneller berechenbar sind als die ursprüngliche DFT der Länge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy">. Für Blocklängen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy">, die sich als Potenz von 2 darstellen lassen, kann somit der klassische <a href="Schnelle_Fourier-Transformation#Algorithmus_von_Cooley_und_Tukey" title="Schnelle Fourier-Transformation">Cooley-Tukey FFT-Algorithmus</a> eingesetzt werden, der die DFT rekursiv in viele Mini-DFTs der Länge 2 zerlegt. Enthält <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"> weitere kleine Primfaktoren, ist eine effiziente Berechnung über mixed-Radix FFT-Algorithmen möglich. Für beliebige andere Blocklängen kann beispielsweise der <a href="Bluestein-FFT-Algorithmus" title="Bluestein-FFT-Algorithmus">Bluestein-FFT-Algorithmus</a> zum Einsatz kommen.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Goertzel-Algorithmus">Goertzel-Algorithmus</h3></div>

Zur Bestimmung einer einzigen oder einiger weniger spektraler Komponenten bei beliebigen Blocklängen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"> kann der <a href="Goertzel-Algorithmus" title="Goertzel-Algorithmus">Goertzel-Algorithmus</a> verwendet werden. Die Berechnung pro Spektralkomponente benötigt dabei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"> komplexe Multiplikationen und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eacbd5b0e609e1f3d7da751ac0d50113d27d22aa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.226ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2N}" loading="lazy"> komplexe Additionen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendungen">Anwendungen</h2></div>

<ul><li>Berechnung der Fourier-Transformierten eines Signals</li>

<li><a href="Signalanalyse" title="Signalanalyse">Signalanalyse</a></li>

<li><a href="Schwingungsanalyse" class="mw-redirect" title="Schwingungsanalyse">Schwingungsanalyse</a> und <a href="Modalanalyse" title="Modalanalyse">Modalanalyse</a></li>

<li>Bearbeitung von Signalen</li>

<li>Berechnung von <a href="Korrelation" title="Korrelation">Korrelationen</a></li>

<li>Berechnung von Polynomprodukten in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {O}}(n\cdot \log(n))}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {O}}(n\cdot \log(n))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/41addf5ff9fad19fe3a34d951c6ada35738b171f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.909ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {O}}(n\cdot \log(n))}" loading="lazy"></li></ul>

Bei der Berechnung von <a href="Oberfl%C3%A4chenwellenfilter" class="mw-redirect" title="Oberflächenwellenfilter">Oberflächenwellenfiltern</a> (= OFW-Filter = SAW-Filter = surface acoustic wave–filter) wird die Invers–Fouriertransformierte der <a href="%C3%9Cbertragungsfunktion" title="Übertragungsfunktion">Übertragungsfunktion</a> benötigt (stellt die <a href="Impulsantwort" title="Impulsantwort">Impulsantwort</a> dar). Diese Aufgabe wird von Rechnern übernommen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Faltung_(Mathematik)" title="Faltung (Mathematik)">Faltung</a></li>

<li><a href="Gabor-Transformation" title="Gabor-Transformation">Gabor-Transformation</a></li>

<li><a href="Laplace-Transformation" title="Laplace-Transformation">Laplace-Transformation</a></li>

<li><a href="Z-Transformation" title="Z-Transformation">z-Transformation</a></li>

<li><a href="Diskrete_Kosinustransformation" title="Diskrete Kosinustransformation">Diskrete Kosinustransformation</a></li>

<li><a href="Wavelet-Transformation" title="Wavelet-Transformation">Wavelet-Transformation</a></li>

<li><a href="Fensterfunktion" title="Fensterfunktion">Fensterfunktion</a></li>

<li><a href="Fourierreihe" title="Fourierreihe">Fourierreihe</a></li>

<li><a href="Short-Time-Fourier-Transformation" class="mw-redirect" title="Short-Time-Fourier-Transformation">Short-Time-Fourier-Transformation</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>André Neubauer: <cite style="font-style:italic">DFT – Diskrete Fourier-Transformation</cite>. 1. Auflage. Springer Vieweg, Wiesbaden 2012, ISBN 978-3-8348-1997-0, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-8348-1997-0">10.1007/978-3-8348-1997-0</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Diskrete+Fourier-Transformation&rft.au=Andr%C3%A9+Neubauer&rft.btitle=DFT+-+Diskrete+Fourier-Transformation&rft.date=2012&rft.doi=10.1007%2F978-3-8348-1997-0&rft.edition=1&rft.genre=book&rft.isbn=9783834819970&rft.place=Wiesbaden&rft.pub=Springer+Vieweg" style="display:none"> </li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Tilman Butz: Fouriertransformation für Fußgänger. 7. Auflage. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-0946-9, Kapitel 4.

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> M. W. Wong: Discrete Fourier Analysis. Birkhäuser Verlag, Basel 2011, ISBN 978-3-0348-0115-7.

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Tilo Strutz: Explaining the Discrete Fourier Transform of real signals based on the least-squares approximation of time-discrete signals using trigonometric functions. 2017, TECHP/2017/11, <a href="https://doi.org/10.13140/RG.2.2.34597.81126" class="extiw external" title="doi:10.13140/RG.2.2.34597.81126">DOI:10.13140/RG.2.2.34597.81126</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.researchgate.net/publication/321075372_Explaining_the_Discrete_Fourier_Transform_of_real_signals_based_on_the_least-squares_approximation_of_time-discrete_signals_using_trigonometric_functions">"PDF"</a>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</main>

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</body></html>